論「重傷華爾街的數(shù)學(xué)模型」一文

在金融海嘯成型，并造成經(jīng)濟衰退時，網(wǎng)路流傳一篇媒體報導(dǎo)名為「重傷華爾街的數(shù)學(xué)模型」的文章
(內(nèi)容可參考http://news.epochtimes.com.tw/9/3/13/107489.htm或http://tw.myblog.yahoo.com/jw!77k8Nm.CAES5kcLoh_95iA--/article?mid=2175)，報導(dǎo)內(nèi)容如下：

[b]「在利益驅(qū)使下，華爾街大量運用一個充滿爭議的數(shù)學(xué)模型，被認(rèn)為是導(dǎo)致整個市場崩潰的原因之一。」

【記者吳英／綜合外電編譯】自金融危機以來，媒體、學(xué)術(shù)界及政治人物都在尋找導(dǎo)致華爾街災(zāi)難的「真兇」，2月底《Wired》月刊發(fā)表了記者沙爾蒙（F. Salmon）題為〈災(zāi)難的處方──摧毀華爾街的公式〉（Recipe for Disaster-The Formula That Killed Wall Street）的文章，認(rèn)為投資人在不了解數(shù)學(xué)公式背后的假設(shè)的情況下，濫用統(tǒng)計學(xué)博士李祥林（David X. Li）開創(chuàng)的一個用以評估違約相關(guān)性的公式，是導(dǎo)致全球金融危機連鎖骨牌效應(yīng)的禍?zhǔn)住?/p>

這個充滿爭議的數(shù)學(xué)公式的首創(chuàng)人李祥林，1960年代出生于中國江蘇的連云港，擁有南開大學(xué)經(jīng)濟學(xué)碩士、加拿大滑鐵盧大學(xué)（University of Waterloo）統(tǒng)計學(xué)博士學(xué)位。

2000年當(dāng)時還在摩根大通（JP Morgan Chase）任職的李祥林在《固定收入期刊》（The Journal of Fixed Income）發(fā)表了〈聯(lián)結(jié)函數(shù)的違約相關(guān)分析〉（On Default Correlation: A Copula Function Approach）的論文。這篇論文中以簡易的數(shù)學(xué)建構(gòu)違約相關(guān)性的模型，刺激了信貸衍生債券市場的爆炸性發(fā)展，帶動一種新興衍生金融工具「信貸違約掉期」（CDS, Credit Default Swaps）。

自此債券投資者、金融界、評級機構(gòu)以及監(jiān)管者大量運用李的模型，但卻忽略了李對該模型有所限制的警告，終致失靈并因此付出可怕的代價。

李祥林從事的研究是確定資產(chǎn)間的相關(guān)性，或稱之為一些獨立事件的相關(guān)性，并以簡單和規(guī)范的數(shù)學(xué)模型計算，稱之為「高斯－聯(lián)結(jié)相依函數(shù)」（Gaussian copula function）。該函數(shù)可說是金融界的突破，以相對簡易的數(shù)學(xué)公式計算複雜的金融商品間的風(fēng)險相關(guān)性。

沙爾蒙在文中以簡單的例子說明李祥林模型有關(guān)「相關(guān)性」的基本概念。假設(shè)一名就讀國小的女孩艾莉絲，其父母離異、得到頭虱、看到老師踩到香蕉皮滑倒、以及贏得班上拼字比賽冠軍的機率都是5％，而所有投資客如果決定債券交易的價格都是以上述機率為基準(zhǔn)時，那麼他們的價格或多或少會是一樣的。

然而，如果再加上一名坐在艾莉絲旁邊的芭比，那麼情況就不一樣了。舉例來說，芭比父母離異是否會影響艾莉絲父母離異的機率，答案是艾莉絲父母離異的機率還是5％，因此二者的相關(guān)性為零。另外，如果芭比得到頭虱，艾莉絲得到頭虱的機率可能高達50％，也就是二者的相關(guān)性可能達0.5。再者，芭比 看到老師踩到香蕉皮滑倒，艾莉絲也看到的機率可能高達95％，因為她們倆人坐在一起，所以相關(guān)性接近1。而如果芭比在班上得到拼字比賽冠軍，表示艾莉絲贏得冠軍的機率是0，二者的相關(guān)性為負(fù)1。因此如果投資者是以上述的情況作為決定交易債券價格的參考時，價格的變化就大多了。

沙爾蒙在文中指出，一個看似簡單的計量模型之所以對金融界帶來如此毀滅性的原因在于，美國房貸債券市場高達11兆美元，投資者通常投資成千上萬不同的房貸債券。每個債券現(xiàn)金流量、違約率及提前償還的機率都不一樣，毫無規(guī)律可循，彼此之間的相關(guān)性更是複雜無比。( cxh99.com )

但金融界利用李祥林的「高斯－聯(lián)結(jié)相依函數(shù)」，將原本已經(jīng)很複雜的資產(chǎn)，進行切割（tranching），成為風(fēng)險等級與投資報酬率不同的金融商品，然后推算出各個切割后不同部分（tranche）的風(fēng)險相關(guān)性，并以此算出他們的價格。

這一計價模型僅根據(jù)過去幾年金融商品的市場價格，就推算出一個相關(guān)性數(shù)據(jù)，而且假設(shè)這個相關(guān)性會永久維持不變。然而，過去幾年是房地產(chǎn)市場的牛市（bull market），房屋價格不斷上漲，所有華爾街的投資銀行家、交易員或風(fēng)險基金管理人都忽略了房價可能下跌的現(xiàn)實，也就是說低估了許多金融商品的風(fēng)險，高估了這些商品的價格。

李祥林早在2005年接受《華爾街日報》採訪時就表示，「很少人了解這個模型的本質(zhì)」。
其實早有許多市場分析師提出警告，但整個市場處于利益追逐的瘋狂狀態(tài)，大批不了解數(shù)學(xué)公式背后假設(shè)的管理人員，在利益的驅(qū)使下，將李祥林的公式四處濫用，而且衍生出越來越複雜的金融商品，一旦基本假設(shè)條件改變，整個市場就此崩潰。

正如李祥林對自己開創(chuàng)的模型的評價：「最危險的部分是，人們相信模型推算出的所有數(shù)據(jù)。」
雖然他設(shè)計的模型導(dǎo)致了華爾街金融危機，但李祥林格外低調(diào)，在美國很少有關(guān)于他的報導(dǎo)。據(jù)了解，他在2008年回到中國大陸，擔(dān)任中國國際金融公司（China International Capital Corporation，CICC）風(fēng)險管理部門主管。

雖然，李祥林充分了解自己模型的缺點，但還是令人好奇，他將如何利用一個失敗的模型管理CICC的風(fēng)險。[/b]

媒體一向喜歡嘩眾取寵，下「重口味」的標(biāo)題，實情又如何呢?

把所有的過錯都推給一個人的一篇文章，是否公平，或者太抬舉了呢?(事情發(fā)生了就找替死鬼(反正都是他的錯)，共犯就可逃之夭夭，而一般人也可以安心睡覺)。

為了一探究竟，我特別到網(wǎng)路上把該篇罪魁禍?zhǔn)椎奈恼?On Default Correlation: A Copula Function Approach)找出來，并大致研讀了一下，考慮到本論壇的特性，我盡量用比較不學(xué)術(shù)的語言簡單敘述其內(nèi)容，并作評論。

 

這篇文章主要是提出一種計算資產(chǎn)組合違約風(fēng)險的一般化模型，其實用變異與共變異的方式處理資產(chǎn)間的違約風(fēng)險，老早就有了(此作法若要溯源，其實就是1952年Markowitz的投資組合理論中計算投組市場風(fēng)險的作法，關(guān)于Markowitz模型的問題以后再談)。

李祥林只不過將之「一般化」以擴大應(yīng)用罷了。一般化系學(xué)術(shù)研究的習(xí)慣，例如愛因斯坦就把牛頓力學(xué)一般化，也就是提出新模型，讓原來的典范模型變成一種特殊狀況，新模型當(dāng)然就更放諸四海蘿。關(guān)于這點可以參考論文最關(guān)鍵的一段話：

「
We can conclude that CreditMetrics uses a bivariate normal copula function with the asset correlation as the
correlation parameter in the copula function. Thus, to generate survival times of two credit risks, we use
a bivariate normal copula function with correlation parameter equal to the CreditMetrics asset correlation.
We note that this correlation parameter is not the correlation coefficient between the two survival times. The
correlation coefficient between the survival times is much smaller than the asset correlation. Conveniently,
the marginal distribution of any subset of an n dimensional normal distribution is still a normal distribution.
Using asset correlations, we can construct high dimensional normal copula functions to model the credit
portfolio of any size.

 譯文：我們可以得出這樣的結(jié)論：CreditMetrics模型使用二維正態(tài)Copula函數(shù)與資產(chǎn)相關(guān)的
在Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。因此，我們使用的是產(chǎn)生2個信用風(fēng)險的生存時間
雙變量正態(tài)Copula函數(shù)和相關(guān)參數(shù)等于風(fēng)險資產(chǎn)相關(guān)性。
我們注意到，這種相關(guān)參數(shù)是不相關(guān)系數(shù)之間的生存時間。這個
生存時間的相關(guān)系數(shù)比資產(chǎn)相關(guān)性小得多。方便，
正態(tài)分布的任意子集的邊緣分布仍為正態(tài)分布。
利用資產(chǎn)的相關(guān)性，我們可以構(gòu)造高維正態(tài)Copula函數(shù)模型的信用
任何規(guī)模的投資組合。
」

看到?jīng)]有，在李祥林之前，CreditMetrics就已經(jīng)在用了。

換言之，你可以說李助紂為虐，卻不能說他是始作俑者。

再則，批評他助紂為虐也太過，本來所有的風(fēng)險模型都是依據(jù)過去的資料與統(tǒng)計假設(shè)，問題來了「過去的風(fēng)險結(jié)構(gòu)可能會變」(且有時候，甚至大部份時候，風(fēng)險結(jié)構(gòu)變化對于因此形成的最適資產(chǎn)組合還滿敏感的，以后再談；但你不依據(jù)歷史資料有能依據(jù)甚麼?)，再則，資產(chǎn)走勢真的依據(jù)常態(tài)嗎?最近，學(xué)者一直在處理「厚尾」與「前后期相關(guān)」，就知前提假設(shè)大有問題。

因此，我雖不同意報導(dǎo)的部分觀點，我倒是接受
「每個債券現(xiàn)金流量、違約率及提前償還的機率都不一樣，毫無規(guī)律可循，彼此之間的相關(guān)性更是複雜無比」
「這一計價模型僅根據(jù)過去幾年金融商品的市場價格，就推算出一個相關(guān)性數(shù)據(jù)，而且假設(shè)這個相關(guān)性會永久維持不變。然而，過去幾年是房地產(chǎn)市場的牛市（bull market），房屋價格不斷上漲，所有華爾街的投資銀行家、交易員或風(fēng)險基金管理人都忽略了房價可能下跌的現(xiàn)實，也就是說低估了許多金融商品的風(fēng)險，高估了這些商品的價格。」（ m.kzuj.com.cn ）

「大批不了解數(shù)學(xué)公式背后假設(shè)的管理人員，在利益的驅(qū)使下，將李祥林的公式四處濫用，而且衍生出越來越複雜的金融商品，一旦基本假設(shè)條件改變，整個市場就此崩潰。」

「最危險的部分是，人們相信模型推算出的所有數(shù)據(jù)。」

這幾句話。

也因此，我們作程式交易要很小心，若「市場結(jié)構(gòu)是會變的」，永續(xù)圣杯就難以企求了。

關(guān)于此，我會用幾篇文章繼續(xù)申論。